EUCLIDES DE
Alexandria -O Fenômeno da Matemática
Euclides começou seu trabalho educacional na
“Universidade de Alexandria”(Museu).
Logo, tornando-se Diretor de Matemática (300 a.C.), onde
escreveu e ensinou Os Elementose outros livros.
O toque de gênio de Euclides está principalmente na
organização lógica com que apresentou e provou, lacunas deixadas por outros
matemáticos. Desta forma compreende-se o significado de seu nome “Boa Glória”.
O ovo e Galinha …
• O que veio antes,
o ovo ou a galinha?.
• Considerando a
galinha nasceu do ovo e o ovo foi colocado pela galinha, é difícil determinar o
responsável pela criação original.
• De acordo com a
teoria da evolução, a resposta do paradoxo, é que o ovo veio primeiro. Deve-se
considerar que o ancestral da galinha (ainda não é uma) botou o ovo com a
mutação que resultaria a moderna galinha. Esta por sua vez, apenas perpetuou
essas mutações.
• AXIOMA: As
espécies sempre evoluem por mutações.
• Segundo a teoria
criacionista, a galinha veio antes, criada por Deus no início dos tempos.
• AXIOMA: Deus
criou todos os seres vivos.
Os Elementos
Obra mais antiga em vigor, (perdendo para a Bíblia em
números de edições) e o mais influente livro matemático de todos os tempos, contendo
13 livros.
Outros Livros _ Tratados
Falácias (pseudaria), Dados, Sobre Divisões (de
figuras), Porismos, Superfícies que são Lugares Geométricos, Cônicas, Fenômenos, Óptica e
Elementos de Música.
Teoria Axiomática
• Axiomas: frases
matemáticas que são supostas verdadeiras sem nenhuma justificativa.
• EX: Na teoria dos
números naturais, temos os seguintes axiomas:
• Todo número
natural n possui um sucessor n’
• Não existe um número cujo sucessor seja 0
• Se n≠m então n’≠m’
• Se 0 tem uma propriedade e esta propriedade também é possuida pelo sucessor de todos os números naturais que a possuem, então ela é possuída por todos os números naturais
Axiomas de Peano
• Não existe um número cujo sucessor seja 0
• Se n≠m então n’≠m’
• Se 0 tem uma propriedade e esta propriedade também é possuida pelo sucessor de todos os números naturais que a possuem, então ela é possuída por todos os números naturais
Axiomas de Peano
Teoria Matemática
A partir dos axiomas + regras lógicas, deduz-se os
resultados matemáticos.
Geometria
Convidado por Ptolomeu I para compor o quadro de
professores da recém fundada Academia, que tornaria Alexandria no centro do
saber da época, tornou-se o mais importante autor de matemática da
Antiguidade greco-romana e talvez de todos os tempos, com seu monumental Stoichia (Os
elementos, 300 a.C.), no estilo livro de texto, uma obra em 13 volumes,
sendo:
cinco sobre geometria plana,
três sobre números,
um sobre a teoria das proporções,
um sobre incomensuráveis e os
três últimos sobre geometria no espaço
• Escrita em
grego, a obra cobria toda a aritmética, a álgebra e a geometria conhecidas
até então no mundo grego, reunindo o trabalho de seus predecessores, como
Hipócrates e Eudóxio, e sistematizava todo o conhecimento geométrico dos
antigos e intercalava os teoremas já conhecidos então com a demonstração de
muitos outros, que completavam lacunas e davam coerência e encadeamento
lógico ao sistema por ele criado.
Os Elementos
Um fragmento dos Elementos encontrado no final do século XIX em Oxyrhynchus, datado de cerca de 100 D.C.
Um fragmento dos Elementos encontrado no final
do século XIX em Oxyrhynchus, datado de cerca de 100 D.C.
O frontispício de uma tradução latina de Adelardo de
Bath dos Elementos de Euclides, c. 1309–1316; a
tradução latina mais antiga sobrevivente dos Elementos é um
trabalho de Adelardo no século XII, que o traduziu do árabe.
Convidado por Ptolomeu I para compor o quadro de
professores da recém fundada Academia, que tornaria Alexandria no centro do
saber da época, tornou-se o mais importante autor de matemática da
Antiguidade greco-romana e talvez de todos os tempos, com seu monumental Stoichia (Os
elementos, 300 a.C.), no estilo livro de texto, uma obra em treze volumes,
sendo
cinco sobre geometria plana,
três sobre números,
um sobre a teoria das proporções,
um sobre incomensuráveis e os
três últimos sobre geometria no espaço.
• Escrita em
grego, a obra cobria toda a aritmética, a álgebra e a geometria conhecidas
até então no mundo grego, reunindo o trabalho de seus predecessores, como
Hipócrates e Eudóxio, e sistematizava todo o conhecimento geométrico dos
antigos e intercalava os teoremas já conhecidos então com a demonstração de
muitos outros, que completavam lacunas e davam coerência e encadeamento
lógico ao sistema por ele criado.
Conclusão
Os Elementos de Euclides não só constituem a mais antiga
obra matemática, como também a mais influente de todos os tempos.
"Se o valor de um trabalho científico pode ser medido
pelo tempo durante o qual ele mantém a sua importância, então os Elementos de
Euclides são a obra científica mais válida de todos os tempos.“
Borsuk e Szmielew (1960)
ARQUIMEDES DE SIRACUSA
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Arquimedes nasceu em 287 a.C., em Siracusa, na Sicília, que
nessa época fazia parte da Grécia. Estudou matemática em Alexandria e
provavelmente conheceu Euclides. Durante toda sua vida dedicou-se tanto à
Matemática quanto à Física e à engenharia.
Dentre seus mais famosos livros podemos citar: Equilíbrios
Planos, onde fundamentou a lei da alavanca, deduzindo-a por meio de poucos
postulados, determinou o centro de gravidade de paralelogramos, trapézios,
retângulos e de um segmento de parábola; Sobre a Esfera e o Cilindro, aqui
Arquimedes utilizou um método conhecido como exaustão, precedente do cálculo
integral, para determinar a superfície de uma esfera e para estabelecer a
relação entre uma esfera e o cilindro circunscrito nela.
A Garra de Arquimedes
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As últimas palavras atribuídas a Arquimedes são "Não
perturbe meus círculos" (em grego: μή μου τούς κύκλους τάραττε), uma referência
aos círculos no desenho matemático que ele estaria estudando quando perturbado
pelo soldado romano. Esta citação é muitas vezes dada em Latim como "Noli
turbare circulos meos," mas não há nenhuma evidência confiável de que
Arquimedes pronunciou estas palavras e elas não aparecem no relato dado por
Plutarco.
Raio Solar de Arquimedes
Luciano de Samósata, escritor do século II, escreveu que
durante o Cerco a Siracusa (c. 214–212 a.C.), Arquimedes destruiu navios
inimigos com fogo. Séculos depois, Antêmio de Trales menciona espelhos ustórios
como a arma utilizada por Arquimedes. O dispositivo, algumas vezes chamado de
"raio de calor de Arquimedes" ou "raio solar de
Arquimedes", teria sido usado para concentrar a luz solar em navios que se
aproximavam, levando-os a pegar fogo.
A Alavanca
Apesar de Arquimedes não ter inventado a alavanca, ele
deu uma explicação do princípio envolvido em sua obra Sobre o Equilíbrio
dos Planos.
De acordo com Pappus de Alexandria, o trabalho de Arquimedes sobre as alavancas fez com que ele exclamasse:
"Deem-me um ponto de apoio e moverei a Terra."
A coroa de ouro
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A confirmação da igualdade das massas não convenceu o rei,
que ainda desconfiava do artesão em relação à mistura de prata com o ouro.
Diante do impasse e sem conhecimento adequado para desvendar o mistério, Herão
contratou Arquimedes e incumbiu-lhe de descobrir a verdade sobre o fato.
Arquimedes dedicou-se exclusivamente ao pedido do rei, mas não conseguia estabelecer
uma forma de verificar a ocorrência ou não da fraude.
Certo dia, quando se preparava para o banho, encheu a
banheira de água e, ao adentrá-la verificou que certa quantidade de água
transbordava. Em virtude dessa observação, ele concluiu que teria como
verificar a dúvida do rei. Empolgado com a possível descoberta, saiu correndo
pelas ruas em direção ao palácio real, gritando: Eureka! Eureka!, que em grego
significa “descobri”.
Arquimedes encheu um balde de água e realizou os seguintes
procedimentos:
Mergulhou a coroa no balde e verificou a quantidade de água
que transbordava. Com a mesma quantidade de água no balde, mergulhou uma barra
de ouro com a mesma massa da coroa e posteriormente, também mergulhou uma barra
de prata com a mesma massa. Ao final do procedimento, verificou que a coroa ao
ser mergulhada, transbordou mais água que o ouro e menos água que a prata.
Dessa forma, Arquimedes concluiu que a coroa fora fabricada com a mistura entre
ouro e prata.
Esse transbordamento maior de água na imersão da prata,
identifica que a densidade da prata é menor que a do ouro. Portanto, se a
densidade do ouro é maior, ele possui menor volume em relação à prata, ocupando
menos espaço no balde com água. No caso da coroa, verificou-se que a densidade
ficou entre a do ouro e a da prata, confirmando a mistura em sua composição.
O PARAFUSO DE ARQUIMEDES
A máquina de Arquimedes consistia em um parafuso giratório
dentro de um cilindro. Era girada a mão, e também podia ser usada para
transportar água de um corpo de água baixo até canais de irrigação.
![https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEguwvYzF5DFUWRLwk9ygtkM6X6a5CANkgcujBahjDrN1wQ4f9fE36uYB_xXayWb5YgfCA3Trs6rFL47ulrPJA0Ai4aL5eq2O48YAJotHEGMlaG7GD1iBx_uV-x7UJeIkvvveKSs7-uMiZQz/s320/parafuso2.JPG](file:///C:\Users\MONICA\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image020.jpg)
![https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjm5LfCn3UUz2GZnRFofkDs1oKG0R15Du1pxZdbwymPnvkUn1AeLbrr_H1NmIrz-JFnaJLwoR4iy4C14330GraUtpzoBkfgu_1Ck241P_3nByJBTthu2duxZRtW6jyQvyvsgl14wSWlb3bd/s320/catapultas.png](file:///C:\Users\MONICA\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image022.gif)
Uma vez que um navio desse tamanho deixaria passar uma quantidade considerável de água através do casco, o parafuso de Arquimedes foi supostamente inventado para remover água da sentina.
A máquina de Arquimedes consistia em um parafuso giratório dentro de um cilindro. Era girada a mão, e também podia ser usada para transportar água de um corpo de água baixo até canais de irrigação. O parafuso de Arquimedes é ainda usado hoje para bombear líquidos e sólidos granulados como carvão e cereais. O parafuso de Arquimedes tal como descrito por Vitrúvio nos tempos romanos pode ter sido uma melhoria em uma bomba de parafuso que foi usada para irrigar os Jardins Suspensos da Babilônia.
Catapultas e Guindastes
Arquimedes viveu a maior parte de sua vida de forma
solitária, quieta e trivial. Mas no final do século 3 a.C., as disputas
geopolíticas no Mediterrâneo entre a Magna Grécia, o Império Romano e Cartago o
forçaram a ocupar uma posição pública. Aos 70 anos de idade ele ficou encarregado
da defesa de Siracusa. Construiu catapultas e guindastes, além de outras armas.
A sua Morte
Arquimedes nos escritos de sua época, dada a reputação quase
sem par que ele ganhou neste período. Curiosamente a razão para isso não era um
interesse generalizado em Matemática, mas sim nas máquinas que inventou para
serem usadas na guerra. Estas armas foram particularmente eficientes na defesa
de Siracusa contra os Romanos, liderados por Marcelo.
Fermat
Aos outros, parecia que a vida de Fermat era sossegada
e sem acontecimentos de maior, Nascido em Beaumont-de-Lomage, França, em Agosto
de 1601, Fermat era tímido e reservado. O pai era mercador de peles. A família
da mãe gabava-se de ter um número elevado de advogados no serviço público.
Fermat seguiu esta ocupação, Ascendeu ao posto de conselheiro do rei no
parlamento de Toulouse e desempenhou a sua função com grande capacidade e
integridade durante 17 anos, até à sua morte em 12 de Janeiro de 1665.
A vocação de Fermat pode ter sido a lei e o serviço público,
mas a sua paixão era a matemática. Apesar de Fermat e Descartes terem inventado
a geometria analítica independentemente um do outro, Fermat foi
consideravelmente mais longe que Descartes, ao introduzir os eixos
perpendiculares e ao formular equações para retas, circunferências, parábolas e
hipérboles.
Cálculo
A resolução de determinados problemas, que só foi possível
com a criação do cálculo, veio aumentar de uma forma significativa o poder da
Matemática.
O cálculo foi descoberto no século XVII como consequência da
procura de soluções para problemas relacionados com o movimento.
A álgebra e a trigonometria eram usadas para resolver
problemas do movimento de objetos que se deslocavam a velocidades constantes ao
longo de trajetos circulares ou lineares.
O cálculo surge pela necessidade de calcular como varia a
velocidade do móvel ou no caso do trajeto do móvel ser irregular. Assim, o
conceito de derivada aparece ligado a velocidades e acelerações.
Newton
Nascido quase um ano depois da morte de Galileu
Galilei, considerado um dos "gigantes" da história da
ciência, Isaac Newton revolucionou campos como a matemática, óptica,
física e astronomia e é hoje muitas vezes considerado o "maior
cientista de todos os tempos”. “Se vi mais longe, foi por estar de pé
sobre os ombros de gigantes”, disse certa vez o britânico, certamente se
referindo também ao trabalho do italiano.
Newton, por sua vez, é considerado o pai da física moderna e serviu de influência para cientistas como Albert Einstein. Isaac Newton morreu há 286 anos, no dia 20 de março de 1727.
Newton descobriu a lei da gravitação universal
Newton, por sua vez, é considerado o pai da física moderna e serviu de influência para cientistas como Albert Einstein. Isaac Newton morreu há 286 anos, no dia 20 de março de 1727.
Newton descobriu a lei da gravitação universal
![http://1.bp.blogspot.com/-keZtu38r79E/Up86RYma_oI/AAAAAAAACJU/mwkNtMJH2J4/s1600/f.jpg](file:///C:\Users\MONICA\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image026.jpg)
A descoberta seguinte seria consequência das tangentes e
Newton a batizou de fluxos, conhecido hoje como o Cálculo Diferencial. Newton
percebeu logo em seguida que a integração de uma função era simplesmente a
operação inversa da diferenciação. Essa descoberta levaria ao Cálculo Integral
e está intimamente relacionada com o hoje em dia denominado Teorema Fundamental
do Cálculo.
Suas descobertas foram publicadas no livro Princípios
Matemáticos da Filosofia Natural, de 1687, que, além da gravitação
universal, também descreveu as três leis de Newton: inércia,
dinâmica, ação e reação, conceitos fundamentais na física moderna.
1º Lei de Newton: Inércia
"Todo corpo permanece em seu estado de repouso, ou de
movimento uniforme em linha reta, a menos que seja obrigado a mudar seu estado
por forças impressas nele"
2º Lei de Newton: A Força
"A mudança do movimento é proporcional à força motriz
impressa e se faz segundo a linha reta pela qual se imprime essa força"
3º Lei de Newton: Princípio da Ação e Reação
"A uma ação sempre se opõe uma reação igual, ou seja,
as ações de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e se dirigem a
partes contrárias"